「３」で割り切れるのはどれ？少しだけ役に立つクイズ【４】

解答＆補足説明

５÷３＝１　余り２
６÷３＝２
７÷３＝２　余り１
８÷３＝２　余り２

となるので、「３」で割り切れるのは「６」です。

 
こんな感じで「３で割り切れるもの」を答えてください。

解答＆補足説明

２４÷３＝８
３１÷３＝１０　余り１
３５÷３＝１１　余り２

 
となるので、答えは「２４」。

これは余裕ですよね。

 
では次はどうでしょうか？

解答＆補足説明

正解は「５４６」。

暗算でも、もちろんOKです。

でも、暗算が苦手な人には少し難しいと思います。

 
そんな時に使えるのが、

「各位の数の和が３で割り切れれば、３で割り切れる」

という法則。

 
この法則を利用すれば、どの数字が「３」で割り切れるのかを一瞬で判断できます。

例えば、「５４６」であれば・・・

例えば、「５４６」であれば、

百の位は「５」
十の位は「４」
一の位は「６」

なので、各位の数の和は、

「５」＋「４」＋「６」＝１５

となります。

 
「１５」は「３」で割り切れます。

つまり、「各位の数の和」が「３」で割り切れます。

 
「各位の数の和が３で割り切れれば、３で割り切れる」ので、「５４３」は「３」で割り切れる。

 
こんな感じで物凄く簡単に「３」で割り切れるかどうかを判断できます。

 
ケタ数が多くなればなるほど、この法則が威力を発揮します。

例えば、次のような問題。

解答＆補足説明

正解は「２０２４１３」。

 
それぞれの各位の数の和を計算してみると、

 
102323の各位の数の和は

1+0+2+3+2+3=11
→３で割り切れない

 
202413の各位の数の和は

2+0+2+4+1+3=12
→３で割り切れる

 
だから「202413」は「3」で割り切れる。

こんな感じで簡単に「３」で割り切れるかどうかを判断できます。

 
なんで「各位の数の和」に注目するのでしょうか？

もちろん理由があります。

 
「５４６」で考えてみたいと思います。

「５４６」を変形すると・・・

「５４６」を変形してみます。

少しごちゃごちゃしますが、決して難しい計算ではありません。

中学校で因数分解・展開を習った人であれば必ず理解できます。頑張ってついてきてください。

 
546

＝500+40+6

＝5×100＋4×10＋6

＝5×(1+99)+4×(1+9)+6

＝5+5×99+4+4×9+6

＝(5+4+6)+5×99+4×9

＝(5+4+6)+9×(5×11+4)

＝(5+4+3)+3×3×(5×11+4)

 
つまり、

５４６

＝「各位の数の和」＋「３×〇〇」

こんな形に変形できました。

どんな数字でもこの形に変形できる

「各位の数の和」＋「３×〇〇」

 
実は、「５４６」だけでなく、どんな数字（※）でもこの形に変形することができます。

 
もし、「各位の数の和」が３で割り切れるのであれば

「各位の数の和」＋「３×〇〇」

＝「３×◇◇」＋「３×〇〇」

＝３×「◇◇＋〇〇」

こんな形に変形できるはず。

つまり、「３」で割り切れるということ。

 
すなわち、「各位の数の和が３で割り切れれば、３で割り切れる」ということです。

 
※ 正確には「正の整数」の場合。「負の整数」の場合は、マイナスの処理が必要になりますが、基本的には同じです。詳細は省略します。

なんでこんな面倒くさいことを説明したのか？

ごちゃごちゃと数式を並べたのでうんざりされたかもしれません。

そうなんです。

数学の証明ってうんざりするものばかりなんです。

 
でも、あえて説明しました。

理由は、「なぜそうなるのか？」を理解することがとても重要だから。

 
「各位の数の和が３で割り切れれば、３で割り切れる」

とだけ、覚えても問題は解けるようになります。

 
でも、それだけでは薄っぺらい知識になってしまいますし、危険でもあります。

これは数学に限った話ではありません。

デマに流されにくくなる

「なぜ、そうなるのか」を自分でしっかりと考えることで、デマに流されにくくなります。

逆に、表面上だけの情報を取り入れてしまうと、デマに流されやすくなります。

テレビで「〇〇と言っていた」
ネットで「〇〇と言っていた」
あの人が「〇〇と言っていた」

こんな情報に振り回されてしまいます。本当かどうかもわからないのに。

 
例えば、

「各位の数の和が６で割り切れれば、６で割り切れる」

これはデマなんですが、「なぜそうなるか」を理解していない場合、本当に信じてしまう可能性があります。

 
例えば、「２４６」という数字。

「２４６」は「６」で割り切れる数字なんですが、各位の数の和も「１２」なので「６」で割り切れます。

 
この数字（２４６）だけを見せられて、「各位の数の和が６で割り切れれば、６で割り切れる」と言われれば、「あっ、本当だ！」と思ってしまう人が少なからずいます。

この情報を鵜呑みにしてしまった場合、受験などでは減点されてしまいます。

自分も損するし、場合によっては、その情報を伝えてしまった周りの人にも迷惑をかける可能性があります。

 
「なぜそうなるのか」を理解することで、このようなデマによる被害を減らすことができます。

新たな発見ができるかも

あと、「新たな発見」をできる可能性もあります。

 
例えば、先ほどのごちゃごちゃした式の中に

（5+4+6）+9×(5×11+4)

という式があります。

これは

「各位の数の和」＋「９×〇〇」

という形。

 
つまり、

「各位の数の和が９で割り切れれば、９で割り切れる」

ということです。

 
このように、「なぜそうなるか」を理解することで、「新たな発見」をできる可能性があります。

７５２４

＝７５００＋２４

＝７５×１００＋２４

＝７５×４×２５＋２４

 
こんな感じで「１００」が出てくるところは、必ず「４」で割り切れます。

つまり、３桁以上のところは、「４」で割り切れるということ。

 
つまり、「下２桁が４で割り切れれば、４で割り切れる」ということです。

２３８２４

＝２３０００＋８２４

＝２３×１０００＋８２４

＝２３×８×１２５＋２４

 
こんな感じで「１０００」が出てくるところは、必ず「８」で割り切れます。

つまり、４桁以上のところは、「８」で割り切れるということ。

 
つまり、「下３桁が８で割り切れれば、８で割り切れる」ということです。

末尾が偶数だから。

各位の和が３で割り切れるから。
（１＋１＋１＋３＝６）

下２桁が４で割り切れるから。
（１１１２）

末尾の数字が０だから。

末尾の数が偶数でかつ、各位の数の和が３で割り切れるから。

下３桁が８で割り切れるから。
（１０２４）

各位の数の和が９で割り切れるから。
（１＋０＋２＋６＝９）